Bài viết này sẽ cung cấp những kiến thức liên quan đến hình tam giác đầy đủ và chi tiết. Bao gồm định nghĩa hình tam giác là gì, các yếu tố trong một tam giác, các đường đồng quy của tam giác,… Cùng theo dõi nhé!
1. Tam giác là gì?
Tam giác (hay hình tam giác) là một hình cơ bản và khá phổ biến trong hình học, là hình gồm ba điểm không thẳng hàng và ba cạnh là ba đoạn thẳng nối các đỉnh với nhau.
Định nghĩa Tam giác là gì
Tam giác là đa giác đơn và cũng là đa giác có số cạnh ít nhất (3 cạnh).
Tổng các góc trong của một hình tam giác là 180 độ.
2. Các yếu tố trong một tam giác
Các góc trong một tam giác được gọi là góc trong.
Các góc kề bù với góc trong được gọi là góc ngoài. Góc ngoài thì bằng tổng các góc trong không kề bù với nó. Mỗi tam giác chỉ có 3 góc trong và 6 góc ngoài.
Các góc trong và góc ngoài trong tam giác
3. Các đường đồng quy của tam giác
Đường cao
Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện của đỉnh đó.
Do đó, mỗi tam giác chỉ có ba đường cao. Khi ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trực tâm của tam giác.
Đường cao trong tam giác
Đường trung tuyến
Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.
Có thể suy ra, mỗi tam giác chỉ có ba đường trung tuyến. Khi ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.
Khoảng cách từ trọng tâm đến cạnh của tam giác bằng 2/3 độ dài các đường trung tuyến. Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Đường trung tuyến trong tam giác
Đường trung trực
Đường trung trực của một tam giác là đường thẳng vuông góc với một cạnh của tam giác đó tại trung điểm.
Mỗi tam giác chỉ có ba đường trung trực. Khi ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đó có tên gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Đường trung trực trong tam giác
Đường phân giác
Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh đến cạnh đối diện và chia góc ở đỉnh làm 2 phần có số đo góc bằng nhau.
Mỗi tam giác chỉ có ba đường phân giác. Khi ba đường phân giác đồng quy tại một điểm, điểm đó có tên gọi là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Khoảng cách từ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác tới các cạnh là bằng nhau.
Đường phân giác trong tam giác
4. Sự bằng nhau giữa các tam giác
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
Các trường hợp bằng nhau của tam giác:
Trường hợp 1: Cạnh – cạnh – cạnh: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh
Trường hợp 2: Cạnh – góc – cạnh: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh
Trường hợp 3: Góc – cạnh – góc: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Trường hợp 3: góc – cạnh – góc
Trường hợp 4: Hai cạnh góc vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (cạnh – góc – cạnh).
Trường hợp 4: hai cạnh góc vuông
Trường hợp 5: Cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( góc – cạnh – góc ).
Trường hợp 5: cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó
Trường hợp 6: Cạnh huyền – góc nhọn: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( góc – cạnh – góc).
Trường hợp 6: cạnh huyền – góc nhọn
Trường hợp 7: Cạnh huyền – cạnh góc vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Trường hợp 7: cạnh huyền – cạnh góc vuông
5. Sự đồng dạng giữa các tam giác
Hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng thỏa mãn một trong các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau thì đồng dạng. (cạnh-cạnh-cạnh).
Trường hợp 2: Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. (góc-góc).
Trường hợp 3: Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng. (cạnh-góc-cạnh).
Trường hợp 4: Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng.
Hai tam giác đồng dạng
Các tính chất của tam giác đồng dạng:
– Tỉ số đồng dạng của hai tam giác là tỉ số giữa hai cạnh tương ứng bất kì của hai tam giác đó khi chúng đồng dạng.
– Tỉ số hai đường phân giác, hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai đường tròn ngoại tiếp tam giác, hai đường tròn nội tiếp tam giác, hai chu vi tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
– Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
6. Phân loại tam giác
Theo độ dài các cạnh
– Tam giác thường là tam giác có độ dài các cạnh khác nhau, số đo góc trong cũng khác nhau. Tam giác thường cũng có thể bao gồm các trường hợp đặc biệt của tam giác.
– Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
– Tam giác đều là tam giác có cả ba cạnh bằng nhau.
Phân loại tam giác theo độ dài các cạnh
Theo số đo các góc trong
– Tam giác vuông là tam giác có một góc 90 độ.
– Tam giác tù là tam giác có một góc trong lớn hơn lớn hơn 90 độ hay có một góc ngoài bé hơn 90 độ.
– Tam giác nhọn là tam giác có ba góc trong đều nhỏ hơn 90 độ hay có 6 góc ngoài lớn hơn 90 độ.
– Tam giác vuông cân vừa là tam giác vuông, vừa là tam giác cân, tức là có 1 góc vuông 90 độ và 2 góc nhọn bằng 45 độ.
Phân loại tam giác theo số đo các góc trong
7. Cách để phân biệt các dạng hình tam giác
Phân loại tam giác theo cạnh
Sử dụng thước để đo 3 cạnh của hình tam giác và so sánh chiều dài của các cạnh với nhau.
– Nếu tam giác đó có cả 3 cạnh có chiều dài bằng nhau là tam giác đều
– Nếu một hình tam giác có 2 cạnh có chiều dài bằng nhau là tam giác cân.
– Nếu một tam giác không có cạnh nào bằng nhau là tam giác thường.
Phân loại tam giác theo cạnh
Phân loại tam giác theo góc
Sử dụng thước đo độ để đo 3 góc trong của hình tam giác.
Lưu ý: Tổng số đo của 3 góc trong một tam giác bằng 180 độ. Đừng quên sử dụng máy tính cầm tay để dễ dàng trong việc tính tổng số đo góc nhé!
Sau đó, dựa theo số đo để phân loại góc vuông, tù hoặc nhọn. Các góc có thể hiểu như sau:
– Góc vuông là góc 90 độ.
– Góc tù là góc lớn hơn 90 độ.
– Góc nhọn là góc nhỏ hơn 90 độ.
Cuối cùng, phân loại các hình tam giác theo số đo và loại góc như sau:
– Nếu tam giác có một góc tù là tam giác tù.
– Nếu tam giác có một góc vuông là tam giác vuông.
– Nếu tam giác có 3 góc nhọn là tam giác nhọn.
– Nếu tam giác có 3 góc nhọn bằng nhau là tam giác đều.
Phân loại tam giác theo góc
8. Tính chất của tam giác
– Tổng số đo của 3 góc trong một tam giác bằng 180 độ.
– Độ dài một cạnh bất kỳ luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh kia và luôn nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh kia (bất đẳng thức tam giác).
– Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Ngược lại, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác).
– Trong một tam giác, bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của độ dài hai cạnh ấy với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó (định lý hàm số cosin).
Định lý hàm số cosin
– Trong một tam giác, tỉ lệ giữa độ dài của mỗi cạnh với sin của góc đối diện là như nhau cho cả ba cạnh (định lý hàm số sin).
Định lý hàm số sin
– Đường trung bình là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác; một tam giác có ba đường trung bình. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh đó. Tam giác mới tạo bởi ba đường trung bình trong một tam giác thì nó đồng dạng với tam giác chủ của nó.
9. Các công thức liên quan đến tam giác
Công thức tính chu vi tam giác
Chu vi hình tam giác bằng tổng độ dài ba cạnh của tam giác.
Công thức tính chu vi tam giác
Trong đó:
+ P: Chu vi tam giác.
+ a, b, c: Lần lượt 3 cạnh của hình tam giác đó.
Công thức tính diện tích tam giác
– Tính diện tích khi biết độ dài đường cao
Diện tích tam giác bằng ½ tích đường cao hạ từ đỉnh nhân với cạnh đối diện của đỉnh đó.
Công thức tính diện tích tam giác khi biết độ dài đường cao
Trong đó:
+ a, b, c: Lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác.
+ ha, hb, hc: Lần lượt là chiều cao được nối từ đỉnh A,B, C.
– Tính diện tích tam giác khi biết một góc
Diện tích tam giác bằng ½ tích hai cạnh kề với sin của góc hợp bởi hai cạnh đó trong tam giác.
Công thức tính diện tích tam giác khi biết một góc
Trong đó:
+ a, b, c: Lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác.
– Tính diện tích tam giác sử dụng công thức Heron
Công thức Heron để tính diện tích tam giác
Trong đó:
+ a, b, c: Lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác.
+ p: Nửa chu vi tam giác, bằng ½ tổng các cạnh của một tam giác.
– Tính diện tích bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R)
Công thức tính diện tích tam giác bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R)
Trong đó:
+ a, b, c: Lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác.
+ R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp.
– Tính diện tích bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (r)
Công thức tính diện tích tam giác bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (r)
Trong đó:
+ p: Nửa chu vi tam giác.
+ r: Bán kính đường tròn nội tiếp.
Hãy theo dõi bài viết Công thức tính diện tích tam giác, chu vi tam giác đầy đủ, chi tiết để nắm rỡ hơn nhé!
10. Những định lý được áp dụng trong tam giác
Định lý Pythagoras
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
Định lý Apollonius
Trong tam giác ABC có AD là đường trung tuyến. Theo định lý Apollonius, ta có hệ thức:
Định lý Apollonius
Định lý Stewart
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của 1 tam giác. Gọi d là độ dài của đoạn thẳng kẻ từ 1 đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện với đỉnh đó và chia cạnh đó thành 2 đoạn có độ dài m và n.Theo định lý Stewart, ta có hệ thức:
Định lý Stewart
Định lý Thales
Nếu 1 đường thẳng song song với 1 cạnh của tam giác đó và cắt 2 cạnh còn lại thì nó định ra trên 2 cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Trong tam giác ABC có đường thẳng D song song với BC và cắt AB tại D, cắt AC tại E.Theo định lý Thales, ta có hệ thức:
Định lý Thales
11. Những công trình kiến trúc sử dụng tam giác
Tam giác đều cho đến nay là tam giác phổ biến nhất được sử dụng trong kiến trúc. Một ví dụ phổ biến về hình tam giác đều được sử dụng trong kiến trúc là Quần thể Kim tự tháp Giza ở Ai Cập. Mỗi một trong bốn cạnh tam giác tạo thành hình chóp đều là các tam giác đều. Đây là những ví dụ về sức mạnh của hình tam giác trong kiến trúc khi các kim tự tháp đã đứng vững trong hơn 4.000 năm.
Quần thể Kim tự tháp Giza ở Ai Cập
Ngoài ra, tòa nhà Flatiron ở thành phố New York là một trong những tòa nhà chọc trời đột phá trên thế giới. Tòa nhà này được xây dựng trên một khối tam giác ở Manhattan, tạo cho nó một hình tam giác, cụ thể là một khối cân. Nó đã tồn tại hơn 100 năm, minh chứng cho sức mạnh của kiến trúc hình tam giác.
Tòa nhà Flatiron ở thành phố New York
Xem thêm:
Vậy là bài viết này đã đem lại nhiều kiến thức liên quan đến hình tam giác rất đầy đủ và chi tiết rồi phải không nào? Cảm ơn các bạn đã theo dõi và hẹn gặp lại ở các bài viết lần sau nhé!
