Đường trung bình là kiến thức quan trọng và rất phổ biến, thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh hình học. Bài viết này sẽ giúp bạn hệ thống lại những kiến thức quan trọng về đường trung bình trong tam giác và đường trung bình trong hình thang. Cùng theo dõi nhé!
1. Đường trung bình trong tam giác là gì?
Đường trung bình là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác, mỗi tam giác có ba đường trung bình.
ED chính là đường trung bình của tam giác ABC
2. Định lý đường trung bình trong tam giác
Định lý 1
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Hình ảnh chứng minh định lý 1
Chứng minh định lý 1:
Hình thang EDCF có hai cạnh bên EC // DF => EC = DF.
Do EC = AE (Giả thiết) => AE = DF (1).
Xét tam giác AED và DFB ta có:
AE = DF (Theo (1)).
Góc A bằng góc D1 (Hai góc đồng vị).
Góc E1 bằng góc F1 (Cùng bằng góc C).
Do đó tam giác AED bằng tam giác DFB => AD = DB.
Định lý 2
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và dài bằng nửa cạnh ấy.
Hình ảnh chứng minh định lý hai
Chứng minh định lý 2:
Giả sử OQ không song song với NP.
Theo tiên đề Ơclit, tồn tại duy nhất đường thẳng OQ’ đi qua O và song song với NP, OQ’ không trùng với OQ. (*)
Theo định lý 1 thì OQ’ phải đi qua trung điểm của cạnh MN hay phải đi qua điểm Q. (**)
=> (*) mâu thuẫn với (**).
Vậy OQ // NP (1).
Kẻ QR // MP, R thuộc NP.
Khi đó hình thang OQRP có QR // OP nên OQ = PR.
Mặt khác do R cũng là trung điểm của cạnh NP (Theo định lý 1), nên PR = 1/2 NP.
Vậy OQ = 1/2 NP. (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
3. Đường trung bình trong hình thang là gì?
Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang chính là đường trung bình của hình thang đó.
NM chính là đường trung bình của hình thang ABCD
4. Định lý đường trung bình trong hình thang
Định lý 3
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Hình ảnh minh họa định lý 3
Chứng minh định lý 3:
Gọi O là giao điểm của AC và MN.
Xét tam giác ADC ta có:
AN = ND (Giả thiết).
NO // DC (Giả thiết).
Suy ra AI = AC (Giả thiết).
Xét tam giác ACB ta có:
AI = IC (Chứng minh trên).
IM // AB (Giả thiết).
Suy ra BM = MC.
Vậy N là trung điểm của BC và MN được gọi là đường trung bình của hình thang.
Định lý 4
Đường trung bình của hình thang thì song song hai đáy và dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.
Hình cảnh chứng minh định lý 4
Chứng minh định lý 4:
Xét hình thang ABCD:
Gọi O là giao điểm của AM và DC.
Xét hai tam giác MAB và MCO:
Góc M1 = Góc M2 (Hai góc đối đỉnh).
BM = MC (Giả thiết).
Góc B bằng góc MCO (Giả thiết).
Do đó tam giác MAB bằng tam giác MCO (Góc – cạnh – góc).
Suy ra, AM = MP, AB = CO.
Vì N là trung điểm của AD, M là trung điểm của AO nên Mn là đường trung bình của tam giác ADO.
=> MN // DO và MN = 1/2 DO.
Mặt khác, DO = DC + CO = DC + AB.
=> MN = (AB + DC) : 2
5. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh các hệ thức và tính cạnh, góc
Để thực hiện được các bài toàn chứng minh dạng 1 bạn phải dựa vào các tính chất về đường trung bình của tam giác và hình thang như:
– Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và có chiều dài bằng nửa tổng hai đáy.
– Đường trung bình của hình tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có chiều dài bằng một nửa cạnh đó.
Bạn sẽ gặp những bài toán yêu cầu tính chiều dài của các cạnh hoặc chiều dài của đường trung bình.
– Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
– Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
Dạng 2: Chứng minh một cạnh là đường trung bình
Đối với các bài toán thuộc dạng hai chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa đường trung bình của hình thang và đường trung bình của hình tam giác để giải các bài toán chứng minh.
6. Bài tập về đường trung bình
Bài 1: Cho tam giác MNP vuông tại M, MP = 12 cm, PN = 13 cm. Gọi O, Q là trung điểm của MP và PN.
a) Chứng minh OQ vuông góc với MP.
b) Tính độ dài OQ.
Tam giác MNP, vuông tại M
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh OQ vuông góc với MP.
OQ là đường trung bình của tam giác MNP (Giả thiết).
=> OQ // MN (Định lý 2).
Mà MN vuông góc với MP (Tam giác MNP vuông tại M).
Do đó OQ vuông góc với MP.
b) Tính độ dài OQ.
Tính độ dài OQ
Bài 2: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM, D là giao điểm của CO và AB, F là trung điểm của DB. Chứng minh AD = 1/2 DB.
Bài tập 2
Hướng dẫn giải:
Xét tam giác CDB có CM = MB, DE = EB nên ME là đường trung bình của tam giác CDB. Do đó ME // CD.
Xét tam giác AME có AO = OM, OD // ME nên DE là đường trung bình của tam giác AME. Do đó AD = DE.
Vậy AD = DE = EB nên AD = 1/2 DB.
7. Một số lưu ý khi làm bài đường trung bình
Nắm rõ bốn định lý về đường trung bình: Việc nắm rõ các định lý, tính chất đường trung bình sẽ giúp bạn dễ dàng hơn khi làm các bài toán chứng minh mà không phải dở sách, tra vở mỗi khi làm bài.
Hiểu được thế nào là đường trung bình: Để phân biệt được đường trung bình với các đường khác trong hình học thì bạn nên hiểu được bản chất của đường trung bình thông qua việc nắm bắt và nhớ rõ khái niệm.
Nên chú ý và tập trung trong quá trình làm bài
Tính toán cẩn thận: Bạn nên sử dụng máy tính cầm tay để có những kết quả chắc chắn. Và trong quá trình làm bài bạn cũng phải tập trung cao độ để có được những quyết định chính xác.
Xem thêm:
Hy vọng sau khi tham khảo xong bài viết này bạn sẽ có thêm những thông tin hữu ích cho quá trình học tập của mình. Cảm ơn bạn đẽ theo dõi!
