Trọng tâm của tam giác là gì? Định nghĩa, tính chất và cách xác định

Kiến thức về trọng tâm tam giác rất quan trọng và phổ biến trong những năm học phổ thông. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hình dung được trọng tâm tam giác là gì thông qua các định nghĩa, tính chất của nó.

1. Trọng tâm là gì?

Theo định nghĩa trong vật lý học, điểm trung bình được phân bố theo trọng lượng của vật thể hoặc một hệ vật thể chính là trọng tâm của vật thể, hệ vật thể đó.

Có bao giờ bạn chợt nghĩ

2. Trọng tâm của tam giác là gì?

Trọng tâm của tam giác chính là giao điểm của ba đường trung tuyến.

Điểm G chính là trọng tâm của tam giác ABC

Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Đường trung tuyến

Là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

3. Tính chất trọng tâm của tam giác

Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Tính chất trọng tâm của tam giác

4. Trọng tâm tam giác của các hình đặc biệt

Trọng tâm tam giác vuông

Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định giống như trọng tâm của tam giác thường.

Tam giác MNP vuông tại M, ba đường trung tuyến MD, NE, PF giao nhau tại trọng tâm O. Ta có MD là trung tuyến của góc vuông PMN nên MD = 1/2 PN = DP = DN.

Trọng tâm tam giác vuông

Trọng tâm tam giác cân

Xét ví dụ minh họa tam giác ABC cân tại A, G là trọng tâm của tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại A nên AG vừa là đường trung tuyến, đường cao và là đường phân giác, từ đó ta suy ra được hệ quả của trọng tâm tam giác cân ABC như sau:

– Góc BAD bằng góc CAD.

– Trung tuyến AD vuông góc với cạnh đáy BC.

Trọng tâm tam giác cân

Trọng tâm của tam giác vuông cân

Để xác định được trọng tâm của tam giác vuông cân ta thực hiện như sau:

Xét tam giác ABC vuông cân tại A có I là trọng tâm. Tương tự như tam giác cân đã tìm hiểu ở trên, AM là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC.

Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên:

AB = AC.

Suy ra, BP = CN và BN = AN = CP = AP.

Trọng tâm tam giác vuông cân

Trọng tâm tam giác đều

Trọng tâm của tam giác đều cũng có chút đặc biệt hơn những hình tam giác khác, để tìm hiểu điều đó, bạn hãy theo dõi ví dụ sau:

Đối với tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác. Vì vậy theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

Trọng tâm của tam giác đều

Trọng tâm trong hình tứ diện

Giao điểm I của bốn đường thẳng nối đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện chính là trọng tâm của tứ diện MNPQ.

Trọng tâm của hình tứ diện

5. Cách xác định trọng tâm tam giác chính xác

Cách 1: Giao điểm 3 đường trung tuyến

Bước 1: Vẽ tam giác ABC, lần lượt xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E.

Xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.

Bước 3: Xác định trọng tâm.

Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC.

Cách 2: Tỉ lệ trên đường trung tuyến

Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC.

Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM. Theo tính chất trọng tâm tam giác thì điểm S chính là trọng tâm tam giác ABC.

Xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến.

6. Bài tập về trọng tâm của tam giác

Bài 1: Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI?

Hình vẽ bài tập 1

Hướng dẫn giải:

Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác).

Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm).

Vậy đọan AI có độ dài 6 cm.

Bài 2: Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.

Hình minh họa bài tập 2

Hướng dẫn giải:

Gọi trung điểm MN, MP, PN lần lượt là R, O, S.

Khi đó MS, PR, NO đồng quy tại trọng tâm I.

Ta có ∆MNP đều, suy ra:

MS = PR = NO (1).

Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến:

MI = 2/3 MS, PI = 2/3 PR, NI = 2/3 NO (2).

Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.

7. Một số lưu ý về trọng tâm của tam giác

Hiểu rõ khái niệm, tính chất của trọng tâm tam giác: Việc hiểu và nhớ rõ các khái niệm, tính chất liên quan đến trọng tâm tam giác sẽ giúp bạn dễ dàng hơn trong việc nhận biết cũng như dễ dàng hơn khi làm các bài toán chứng minh.

Nắm rõ cách vẽ, xác định trọng tâm: Việc xác định được trọng tâm của tam giác rất quan trọng. Nếu không thể vẽ, xác định đúng trọng tâm của tam giác sẽ ảnh hưởng đến việc tính toán và làm bài của bạn.

Nên sử dụng máy tính cầm tay với những bài tập tính toán.

Cẩn thận đối với những bài tập tính toán: Các bài tập về trọng tâm của tam giác chủ yếu xoay quanh các bài toán chứng minh và đôi khi sẽ xuất hiện những bài tập tính toán. Với những bài tập tính toán liên quan đến các số liệu lớn thì bạn nên sử dụng máy tính cầm tay để có những kết quả chắc chắn.

Xem thêm: