Trung điểm là gì? Định nghĩa, tính chất và cách chứng minh chi tiết Update 10/2024

Trung điểm là một khái niệm cực quen thuộc trong đời sống và cả môn toán hình học. Trung điểm liên quan đến nhiều dạng bài toán khác nhau và bài viết hôm nay mình sẽ cung cấp thông tin về trung điểm và các bài toán liên quan nhé!

1. Trung điểm là gì?

Trung điểm là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng và chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn có độ dài bằng nhau.

Ví dụ ta có đoạn thẳng AB, điểm C nằm trên AB và AC = CB. Vậy C chính là trung điểm của đoạn AB.

Khái niệm về trung điểm đoạn thẳng

2. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng

Chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn thẳng bằng nhau.

Ví dụ: M là trung điểm của đoạn thẳng OP. Vậy MO = MP.

Tính chất trung điểm đoạn thẳng

3. Cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng

Trên một đoạn thẳng ta lấy một điểm sao cho điểm đó chia đoạn thẳng ra thành hai đoạn bằng nhau. Vậy điểm đó chính là trung điểm của đoạn thẳng.

Ví dụ: Trên đoạn thẳng BD lấy điểm H sao cho BH = (1/2) BD. Vậy H là trung điểm của BD.

Cách vẽ trung điểm đoạn thẳng

4. Cách chứng minh trung điểm

Cách chứng minh trung điểm theo định nghĩa

– Cách chứng minh: Để chứng minh điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta cần chứng minh đồng thời M nằm giữa A, B và MA + MB.

– Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB = 8cm có M là trung điểm AB. Trên AB lấy hai điểm C,D sao cho (AC=BD=3cm. Chứng minh M là trung điểm CD.

Ví dụ bài tập trung điểm theo định nghĩa

Cách chứng minh dựa vào các tính chất của tam giác

– Cách chứng minh: Để thực hiện bài toán chứng minh trung điểm dựa trên các tính chất của tam giác trước hết ta phải hiểu tính chất của tam giác.

Cho tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó:

– AM, BN, CP lần lượt được gọi là các đường trung tuyến của cạnh BC, CA, AB .

– 3 đường trung tuyến đồng quy tại điểm G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC.

– 3 đoạn thẳng MN,NP,PM được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC.

– Tính chất của các đường trên:

+ Trọng tâm tam giác:

Tính chất trọng tâm tam giác

+ Đường trung bình tam giác: Nếu MN là đường trung bình của tam giác ABC thì MN song song và bằng 1/2 cạnh đáy tương ứng.

– Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB > BC. BE là phân giác và BD là trung tuyến. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G , K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm đoạn BC.

Ví dụ bài tập trung điểm liên quan đến hình tam giác

Cách chứng minh dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt

– Cách chứng minh: Để chứng minh trung điểm trong tứ giác ta phải nắm được một số tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt:

+ Đường trung bình trong hình thang thì song song hai đáy và dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.

+ Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

– Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của AC, BD. Lấy M là điểm bất kì nằm trên CD. MI cắt AB tại N. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.

Ví dụ bài tập trung điểm liên quan đến hình tứ giác

Cách chứng minh dựa vào các tính chất của đường tròn

– Cách chứng minh: Để chứng minh trung điểm ta dựa vào quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn.

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. MN là một dây cung bất kì của đường tròn. Khi đó, nếu AB cắt MN, AB đi qua trung điểm của MN và ngược lại , nếu AB đi qua trung điểm của MN thì AB cắt MN.

Đề chứng minh trung điểm liên quan đến đường tròn

Ví dụ bài tập trung điểm liên quan đến đường tròn

Cách chứng minh dựa vào tính chất đối xứng trục

– Cách chứng minh: Hai điểm A,B đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của AB. Khi đó AB cắt d và d đi qua trung điểm của AB.

Đối xứng trục

Cách chứng minh dựa vào tính chất đối xứng tâm

– Cách chứng minh: Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua điểm O nếu như O là trung điểm của AB.

Đối xứng tâm

5. Công thức để xác định trung điểm của một đoạn thẳng

Công thức để xác định trung điểm của một đoạn thẳng trên một mặt phẳng Euclid nối điểm (x₁, y₁) và (x₂, y₂) là:

Công thức xác định trung điểm của đoạn thẳng

6. Bài tập về trung điểm của một đoạn thẳng

Bài 1: Cho hình dưới đây.

Hình minh họa bài tập 1

a. Đâu là ba điểm thẳng hàng?

b. M là điểm nằm giữa hai điểm nào?

c. N là điểm nằm giữa hai điểm nào?

d. O là điểm nằm giữa hai điểm nào?

Trả lời:

a. Ba điểm thẳng hàng là: (A, M, B), (C, N, D), (M, O, N).

b. M là điểm nằm giữa hai điểm AB.

c. N là điểm nằm giữa hai điểm CD.

d. O là điểm nằm giữa hai điểm MN.

Bài 2: Trả lời đúng hay sai cho mỗi nhận định về hình dưới đây.

Hình minh họa bài tập 2

a. O là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b. M là trung điểm của đoạn thẳng CD.

c. H là trung điểm của đoạn thẳng EG.

d. M là điểm nằm giữa của 2 điểm C và D.

e. H là điểm nằm giữa 2 điểm E và G.

Trả lời:

a. Đúng.

b. Sai.

c. Sai.

d. Sai.

e. Đúng.

Bài 3: Kể tên trung điểm của các đoạn thẳng BC, GE, AD, IK trong hình dưới đây.

Hình minh họa bài tập 3

Trả lời:

Trung điểm của đoạn thẳng BC là điểm I.

Trung điểm của đoạn thẳng GE là điểm K.

Trung điểm của đoạn thẳng AD là điểm O.

Trung điểm của đoạn thẳng IK là điểm O.

7. Một số lưu ý về dạng toán trung điểm

– Cần nắm kỹ tính chất của các dạng hình học như: Hình tam giác, hình tứ giác, đường tròn,.. để có thể giải bài toán chứng minh trung điểm liên quan đến các dạng hình học này.

Lưu ý khi bấm máy tính tính toán

– Khi giải bài toán cần tính toán, các bạn nên dùng máy tính cầm tay để kiểm tra lại đáp án đồng thời hãy cận thận bấm máy tính một cái kỹ càng để tránh sai sót.

Minh tin rằng những kiến thức này sẽ rất hữu ích đối với bạn. Cám ơn đã theo dõi, hẹn gặp lại ở những bài viết tiếp theo!